Kalkulus stokastik

Kalkulus stokastik ialah sebuah cabang matematik yang beroperasi pada proses stokastik. Ia membolehkan teori integrasi yang konsisten ditakrifkan untuk kamiran proses secara stokastik berkenaan dengan proses stokastik. Bidang ini dicipta dan dimulakan oleh ahli matematik Jepun, Kiyosi Itô semasa Perang Dunia II.

Proses stokastik yang paling terkenal di mana kalkulus stokastik digunakan ialah proses Wiener (dinamakan sebagai penghormatan kepada ahli matematik Norbert Wiener), yang digunakan untuk membuat pemodelan gerakan Brown seperti yang diterangkan oleh Louis Bachelier pada tahun 1900 dan oleh Albert Einstein pada tahun 1905. Proses Wiener juga membantu memberi penjelasan dengan membolehkan pemodelan penyebaran fizikal dalam sebuah ruang zarah yang tertakluk kepada daya rawak. Sejak 1970-an, proses Wiener telah digunakan secara meluas dalam matematik kewangan dan ekonomi untuk membuat pemodelan evolusi dalam masa harga saham dan kadar faedah bon.

Komponen utama kalkulus stokastik ialah kalkulus Itô dan variasi relatifnya iaitu kalkulus Malliavin. Atas sebab teknikal, kamiran Itô adalah yang paling berguna untuk kelas umum proses, manakala kamiran Stratonovich yang berkaitan selalunya berguna dalam perumusan masalah (terutamanya dalam disiplin kejuruteraan). Kamiran Stratonovich juga dengan mudah boleh digunakan dalam persamaan kamiran Itô. Faedah utama kamiran Stratonovich ialah ia mematuhi peraturan rantaian biasa dan oleh itu tidak memerlukan lemma Itô. Ini membolehkan masalah dinyatakan dalam bentuk invarian sistem koordinat, yang tidak ternilai apabila membangunkan kalkulus stokastik pada manifold selain Rⁿ . Teorem penumpuan yang didominasi tidak berlaku untuk kamiran Stratonovich; akibatnya adalah amat sukar untuk membuktikan keputusan tanpa menyatakan semula kamiran dalam bentuk Itô.